2021년08월14일 79번

[사회통계]
어떤 연속확률변수 X의 평균이 0이고, 분산이 4이다. 체비셰프(Chebyshev) 부등식을 이용하여 P(-4≤X≤4)의 범위를 구하면?

① P(-4≤X≤4)≤0.5
② P(-4≤X≤4)≥0.75
③ P(-4≤X≤4)≥0.95
④ P(-4≤X≤4)≤0.99

(정답률: 29%)

문제 해설

체비셰프 부등식은 모든 확률분포에 대해 적용 가능하며, 다음과 같이 정의된다.

P(|X-μ|≥kσ) ≤ 1/k^2

여기서 μ는 평균, σ는 표준편차이다. 이 부등식을 이용하여 P(-4≤X≤4)의 범위를 구해보자.

먼저, X의 평균이 0이고 분산이 4이므로 표준편차는 2이다. 따라서,

P(|X-0|≥4) ≤ 1/2^2 = 1/4

P(-4≤X≤4) = 1 - P(|X-0|≥4) ≥ 1 - 1/4 = 3/4

따라서, P(-4≤X≤4)의 범위는 3/4 이상이다. 따라서 정답은 "P(-4≤X≤4)≥0.75"이다.

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